Réponses aux exercices sur les transformations de Lorentz


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Exercice 5

Exprimons (xi, ti) en fonction de (x, t).
               On a : (1) ; (2)

              On a : (3)  , par définition des systèmes.

              Ce qui donne : (4) 
               L'expression (4) s'obtient en remplaçant dans (3) (x1, t1) par l'expression en fonction de (x, t) donnée dans (1).

          Exprimons maintenant (x3, t3) en fonction de (x2, t2).

               On a : On remplace x et t par ces dernières expressions dans (4).

               On obtient : (5)

Complément: exprimons (x, t) en fonction de (x3, t3) .
               On trouve : (6)

            Ces dernières formules s'obtiennent soit à partir de (4), soit directement en passant de S3 à S1, puis de S1 à S.
            On constate ainsi que les transformations (4) réalisent une bijection de R2 sur R2 . R désignant l'ensemble des nombres réels.

L'équations du mouvement de M dans S est x = kt .
    En remplaçant x par kt dans (4), on obtient : (7)  On trouve : 

    La vitesse de M par rapport à S3 est donc : (8)
    Cette vitesse est donnée en fonction de t.
    Si v'=0, dx3/dt3 = k-2t. On suppose désormais que v' est non nul.

          Les variations de dx3/dt3 en fonction de t sont résumées dans le tableau suivant.

 

           Ce qui répond à la discussion demandée dans cette deuxième question.

3° a)  Dans S, l'équation du mouvement de l'extrémité de la règle est : x = kt' +L .
          En remplaçant x par kt' + L, dans (4), on obtient: (9)
          Ici t est remplacé par t' , et (x3, t3) est remplacé par (x'3, t'3) pour bien distinguer l'origine de l'extrémité de la règle.
          t et t' ne sont pas obligatoirement égaux, lorsque l'on considère les formules (7) et (9) à la fois.
          t' et t désignent le temps dans S.

          Le mouvement de l'origine de la règle est décrit dans S3 par (7), celui de l'extrémité par (9).
          Pour t'= t donné on constate que :.

         L est une constante indépendante de t'.
        On trouve comme dans la seconde question,
        que la vitesse de l'extrémité de la règle est : (10) .

         Pour t'= t donné, la vitesse de l'origine est la même que celle de l'extrémité, dans S3.
         Mais attention, la formule (8) donne la vitesse de l'origine de la règle à une date t3 de S3 ,
         alors que la formule (10) donne la vitesse de l'extrémité de la règle à une date t'3 de S3 différente de t3 .

         Nous allons comparer les vitesses dans S3, de l'origine et de l'extrémité de la règle lorsque t'3=t3.

          Notons Or líorigine de la règle, Er son extrémité.
          Le mouvement de Or est donné dans S3 par les équations (7) 
          Soit t3 donné, déterminons toutes les dates t de S pour lesquelles on obtient ce t3 dans les équations (7) du mouvement de Or.
          On suppose dans tout ce qui suit que ví est non nul . ví=0 rend les repères S1 et S3 identiques.
          Líéquation à résoudre est : 
          Le discriminant de cette dernière équation est : 
          Posons :  . Si , líéquation nía pas de solution.
         Aucune valeur de t ne donnera t3 . Plus précisément, jamais aucune horloge de S3 ne marquera t3 lorsque Or passera dessus.

         On suppose désormais que .
         Nous obtenons deux valeurs possibles pour t ,
         valeurs qui sont :  On remarque que : 

         A la date t3 de S3 , Or est :
        Soit en   , et sa vitesse dans S3 est alors 
        Soit en   , et sa vitesse dans S3 est alors 
        Je rappelle que :  .
          Les vitesses V3 a et V3 b síobtiennent en remplaçant dans líexpression (8) , t par t a puis par tb .
          On remarque que ces deux vitesses sont différentes.

          On remarque de plus que si , ces vitesses deviennent infinies, ce que líon peut voir dans le tableau de la seconde question.

           Le mouvement de Er est donné par les équations (9)

            t3 étant donné, trouvons toutes les valeurs de tí qui donnent par les formules (9) tí3= t3 .

            De façons analogue à ce qui a été fait pour Or ,
            on trouve que tí est solution de líéquation : 

            Le discriminant de cette équation est : .

            On suppose dans ce qui suit que .

            On trouve deux valeurs pour tí qui sont : 

            Lorsque L tend vers zéro, tí doit tendre vers t .
            Pour t3 donné, si líon considère Or à la date ta dans S, Er doit être considéré à la date tía dans S pour pouvoir les considérer simultanément dans S3.
            De même pour tb et tíb .

            En définitive, à la date t3 de S3 , on a :
            Soit Or est en et Er est en 
            Les vitesses respectives de Or et Er sont alors : 

            Soit Or est en  et Er est en 
            Les vitesses respectives de Or et Er sont alors : 

            Dans S3 , líextrémité de la règle nía pas même vitesse que líorigine.

        b) Déterminons la longueur de la règle à la date t3 de S3

            Cette longueur est soit , soit  , selon que Or se trouve en x3a ou en x3b .

           On trouve :
           Les longueurs sont données en fonction de t3.
           On remarque que si L=0, alors L3a = L3b = 0 , et que L3a et L3b tendent vers -L/b' lorsque t3 tend vers plus l'infini si v'>0,
            vers moins l'infini si v'<0.
                                                      Serge CABALA