1° Exprimons (x_i, t_i) en fonction de (x, t).
               On a : (1) ; (2)

              On a : (3)  , par définition des systèmes.

              Ce qui donne : (4) 
               L'expression (4) s'obtient en remplaçant dans (3) (x₁, t₁) par l'expression en fonction de (x, t) donnée dans (1).

          Exprimons maintenant (x₃, t₃) en fonction de (x₂, t₂).

               On a : On remplace x et t par ces dernières expressions dans (4).

               On obtient : (5)

Complément: exprimons (x, t) en fonction de (x₃, t₃) .
               On trouve : (6)

            Ces dernières formules s'obtiennent soit à partir de (4), soit directement en passant de S₃ à S₁, puis de S₁ à S.
            On constate ainsi que les transformations (4) réalisent une bijection de R² sur R² . R désignant l'ensemble des nombres réels.

2° L'équations du mouvement de M dans S est x = kt .
    En remplaçant x par kt dans (4), on obtient : (7)  On trouve : 

    La vitesse de M par rapport à S₃ est donc : (8)
    Cette vitesse est donnée en fonction de t.
    Si v'=0, dx₃/dt₃ = k-2t. On suppose désormais que v' est non nul.

          Les variations de dx₃/dt₃ en fonction de t sont résumées dans le tableau suivant.

           Ce qui répond à la discussion demandée dans cette deuxième question.

3° a)  Dans S, l'équation du mouvement de l'extrémité de la règle est : x = kt' +L .
          En remplaçant x par kt' + L, dans (4), on obtient: (9)
          Ici t est remplacé par t' , et (x₃, t₃) est remplacé par (x'₃, t'₃) pour bien distinguer l'origine de l'extrémité de la règle.
          t et t' ne sont pas obligatoirement égaux, lorsque l'on considère les formules (7) et (9) à la fois.
          t' et t désignent le temps dans S.

          Le mouvement de l'origine de la règle est décrit dans S₃ par (7), celui de l'extrémité par (9).
          Pour t'= t donné on constate que :.

         L est une constante indépendante de t'.
        On trouve comme dans la seconde question,
        que la vitesse de l'extrémité de la règle est : (10) .

         Pour t'= t donné, la vitesse de l'origine est la même que celle de l'extrémité, dans S₃.
         Mais attention, la formule (8) donne la vitesse de l'origine de la règle à une date t₃ de S₃ ,
         alors que la formule (10) donne la vitesse de l'extrémité de la règle à une date t'₃ de S₃ différente de t₃ .

         Nous allons comparer les vitesses dans S₃, de l'origine et de l'extrémité de la règle lorsque t'₃=t₃.

          Notons Or l’origine de la règle, Er son extrémité.
          Le mouvement de Or est donné dans S₃ par les équations (7) 
          Soit t₃ donné, déterminons toutes les dates t de S pour lesquelles on obtient ce t₃ dans les équations (7) du mouvement de Or.
          On suppose dans tout ce qui suit que v’ est non nul . v’=0 rend les repères S₁ et S₃ identiques.
          L’équation à résoudre est : 
          Le discriminant de cette dernière équation est : 
          Posons :  . Si , l’équation n’a pas de solution.
         Aucune valeur de t ne donnera t₃ . Plus précisément, jamais aucune horloge de S₃ ne marquera t₃ lorsque Or passera dessus.

         On suppose désormais que .
         Nous obtenons deux valeurs possibles pour t ,
         valeurs qui sont :  On remarque que : 

         A la date t₃ de S₃ , Or est :
        Soit en   , et sa vitesse dans S₃ est alors 
        Soit en   , et sa vitesse dans S₃ est alors 
        Je rappelle que :  .
          Les vitesses V_{3 a} et V_{3 b} s’obtiennent en remplaçant dans l’expression (8) , t par t _a puis par t_b .
          On remarque que ces deux vitesses sont différentes.

          On remarque de plus que si , ces vitesses deviennent infinies, ce que l’on peut voir dans le tableau de la seconde question.

           Le mouvement de Er est donné par les équations (9)

            t₃ étant donné, trouvons toutes les valeurs de t’ qui donnent par les formules (9) t’₃= t₃ .

            De façons analogue à ce qui a été fait pour Or ,
            on trouve que t’ est solution de l’équation : 

            Le discriminant de cette équation est : .

            On suppose dans ce qui suit que .

            On trouve deux valeurs pour t’ qui sont : 

            Lorsque L tend vers zéro, t’ doit tendre vers t .
            Pour t₃ donné, si l’on considère Or à la date t_a dans S, Er doit être considéré à la date t’_a dans S pour pouvoir les considérer simultanément dans S_3.
            De même pour t_b et t’_b .

            En définitive, à la date t₃ de S₃ , on a :
            Soit Or est en et Er est en 
            Les vitesses respectives de Or et Er sont alors : 

            Soit Or est en  et Er est en 
            Les vitesses respectives de Or et Er sont alors : 

            Dans S₃ , l’extrémité de la règle n’a pas même vitesse que l’origine.

        b) Déterminons la longueur de la règle à la date t₃ de S₃

            Cette longueur est soit , soit  , selon que Or se trouve en x_3a ou en x_3b .

           On trouve :
           Les longueurs sont données en fonction de t₃.
           On remarque que si L=0, alors L_3a = L_3b = 0 , et que L_3a et L_3b tendent vers -L/b' lorsque t₃ tend vers plus l'infini si v'>0,
            vers moins l'infini si v'<0.
                                                      Serge CABALA