1°  On pose 
     On a   et 
                                   Si l'on pose :  ,
                                   on trouve que : ,
                 ce qui prouve que la nouvelle expression est une onde transversale possible de la bande élastique.

2°  Dans cette question on suppose f périodique bornée.
     C'est à dire qu'il existe deux constantes réelles r et s telles que pour tout t,   r<f(t)<s .
      Le point d'abscisse x_o est point fixe si et seulement si  , a réel constant indépendant de t.
      Nous allons prouver que a=0 .
      En remplaçant t par  dans l'expression du point fixe, on trouve que pour tout t, .
      En remplaçant t par  dans la dernière expression obtenue, puis en recommençant,
      on trouve que pour tout entier naturel n : .
      Si a est différent de zéro, na tend vers plus ou moins l'infini, ce qui est impossible car f est bornée. Donc a=0 .
      Les points fixes ont donc pour ordonnée zéro. Ils vérifient pour tout t : .
       En remplaçant t par  , on trouve que pour tout t ,  .
      Donc  , p étant la période de f. On a donc : .
      La distance entre deux points fixes consécutifs est : .

3°  Le point d'abscisse a pour ordonnée zéro quelque soit t ,
     si et seulement si pour tout t : .
     Soit si et seulement si pour tout t , 
     Soit encore si et seulement si pour tout T , en posant .
    On a donc , ce qui donne .
    La distance entre deux points "fixes" consécutifs est maintenant: .
    Les points fixes se déplacent à vitesse v .

4°  Montrons, avant d'aborder les questions, que la période de battement de l'onde (O) est bien p.

      C'est à dire que p est la plus petite valeur strictement positive
      qui vérifie:  , pour tout t, tout x .
      Soit p' une valeur différente de zéro qui vérifie la même propriété que p.
      Pour tout x,t on a: .
      Remplaçons t par dans la dernière expression.
      On a: . Fixons t=0 .
      Pour tout x on a: .
      En posant a=f(p')-f(0) , et en remplaçant 2x/c par x (ce qui est possible car l'égalité est vraie pour tout x ) ,
      on a : .
      Puisque f est bornée, d'après ce qui a été fait dans la question 2° , on a: a=0 .
      p' est un multiple de p. p est bien la période de battement de l'onde (O) .

     a) L'origine du repère Sv  a pour équation horaire dans S: x=vt .
         Si E est un événement de coordonnées (x, t) dans S , les coordonnées de E dans Sv sont (x_g,t) avec x=vt+x_{g .}
         Par rapport à Sv, l'équation de l'onde (O)
         est donc: 
         Toujours par rapport à Sv , l'équations de l'onde (Ov)
         est: 
        Or pour tout t, 
        Ce qui prouve que la période de battement de (Ov) par rapport à Sv est 

    b) Soit x_og un point fixe, par rapport à Sv, de l'onde (Ov) .
        Cela signifie que pour tout t : .
        En posant : , on trouve que pour tout T , .
        On a donc: .
        On retrouve, comme dans la question trois, que la distance entre deux points fixes consécutifs est bpc/2 .

5° Les transformations recherchées sont de la forme x’=mx+nt+p , t’=st+rx+q .
     m,n,p,s,r,q étant des constantes.
    Un théorème résume l'étude de cette cinquième question.
    Ces transformations conviennent si et seulement si t’-x’/c et t’+x’/c sont de la forme
     k(t-x/c)+e ou k(t+x/c) +e , k,e constantes.

     Or on a:  ,   et 

    a)  s-n/c=0 alors m-rc=0 aussi pour que t’-x’/c soit de la bonne forme.
        On trouve alors que  .
        s = 0 entraîne r = 0 ce qui donne m = n = 0 .
        Le cas  .
        C’est de la bonne forme si et seulement si  , et dans ces cas,  .
        On a : 
    b)  s+n/c=0 . On retrouve les mêmes formules que ci-dessus par un raisonnement analogue.

    c) 
        Dans ce cas on a : 
                                 et 
        Ces écritures sont de la bonne forme si et seulement si 

         Cas1) . On a:  ce qui entraîne 
                    On trouve que x'=sx+rc²t+p et t'=st+rx+q . Si s=0 alors r =0 . Supposons s non nul.

                    On a alors    Posons :, ce qui donne .

                    On obtient :  s et v étant des constantes quelconques (s=0 convient aussi ici).
                    Dans le cas où s est non nul , posons d=1/s . On obtient 

         Cas 2) . Par un raisonnement analogue au Cas 1) ,

                     on trouve que  , ce qui donne  s et v quelconques.(s=0 convient)

                      Lorsque s et non nul, posons d=-1/s , on a 

          Cas 3) . On trouve 
                                                                ce qui donne :  n , r constantes quelconques.

          Cas 4) . On trouve que 
                                                                 ce qui donne :  n , r constantes quelconques.
     L'ensemble des résultats de cette question 5° se résume dans le théorème suivant.

    Théorème
    Des transformations linéaires de x et t transforment toute onde sur une ligne en une nouvelle onde sur cette même ligne,
    si et seulement si elles sont d'un des types
    suivants: 

     k peut dépendre de v .
     Lorsque k est non nul , on peut poser k=1/d . En prenant k = 1/b , le groupe (4) donne les transformations de Lorentz.
     On remarque que les t' dans (3) et (4) varient en sens contraires.

                        Etudions le comportement des points fixes et des battements.
                        Soit une onde quelconque, l(x',t') l'onde transformée par une
                        des transformations précédentes.

                        *)Les transformations (1) et (2) ne fournissent en général aucun point fixe, ou alors tout point devient fixe
                        pour certaines fonctions l(x,t) et certains choix des constantes.
                        Ces transformations présentent peu d'intérêt.

                        *)Prenons les transformations (4) avec k non nul. Posons k=1/d .
                        Pour simplifier, on prend p=q=0 dans les transformations (4).
                        De plus on suppose que x=0 est un point fixe de l(x,t).
                        On a donc: 
                        On suppose aussi que f est périodique bornée de période p.
                         La période de battement de l(x,t) est p , la distance entre deux points fixes consécutifs de l(x,t) est
                         L_o=pc/2 (voir questions précédentes).
                         Des calculs analogues à ceux de la question 4°, dans lesquels on remplace b par d donnent :
                         Les points fixes de l(x,t) se transforment dans l(x',t') en points "fixes" qui se déplacent à vitesse v le long de Ox .
                         La distance entre deux points "fixes" consécutifs de l'onde l(x',t') est
                         L = |d|L₀ . |d| désignant la valeur absolue de d.
                         La période de battement de l(x',t') ( dans le repère S_v ) est  .
                         Remarque: si |v|=c , les transformations (3) et (4) deviennent (1) ou (2) .

 
                         *)Prenons les transformations (3) avec k non nul.
                            On a en posant k=1/d , 
                            Pour simplifier, on prend p=q=0 .
                            On prend le même l(x,t) que précédemment.
                            On a ainsi : 
                            Par des calculs analogues à ceux de la question 4°,
                            On trouve que x=vt est point fixe de l(x',t') , que la période p_v de battement de l(x',t')
                            est , et que la distance entre deux points fixes consécutif est L=|d|L_{o .}
                            Nous obtenons les mêmes résultats qu'avec les transformations (4).

                                                                         Serge CABALA.