Dans cet exercice l’énoncé stipule que 0<v<c . Je rappelle que: 
 
1° L’équation du mouvement de M par rapport à S étant x = kt ,

     en remplaçant x par kt dans les transformations de Lorentz , puis en exprimant t en fonction de t' ,
     on trouve que:  .
     La vitesse de M par rapport à S’ est:   .   La vitesse k’ n’existe pas pour k = c²/v .
     Dans ce cas, M est perçu comme étant partout à la fois dans S’ à la date t’ = 0 .
     Plus exactement, M passe en tout point d’abscisse x’ de S’ lorsque l’horloge de S’ qui se trouve en x’ marque zéro.
     Le système S’ ne permet pas une description cohérente de certains mouvements de M.
 

2° Le plus simple consiste à préciser dans un tableau, les variations de k’ en fonction de k .
                             

      On remarque que lorsque k varie de c à c²/v , k’ varie de c à plus l’infini.
      Pour k supérieur à c²/v , k’ est négatif . k et k’ sont de signes contraires pour tout k compris entre 0 et v , et pour tout k > c²/v .
      Lorsque k tend vers plus l’infini, k’ tend vers –c²/v , de même lorsque k tend vers moins l’infini.
      Dans S’ , lorsque k > c²/v , le mobiles M a une vitesse k’ négative, de plus,
      M semble arriver avant d’être parti. Les effets semblent précéder la cause.
      Penser aux fuseaux horaires terrestres et à l’avion Concorde. Cet avion arrive à New York à une date locale inférieure à celle de départ de Paris.
      S’ n’est pas un système de référence toujours cohérent.

3°   La troisième question est résolue en même temps que la seconde. Se reporter au tableau de variation de k’ .
       Les limites de k’, lorsque k tend vers plus ou moins l’infini sont égales à –c²/v .
      Remarque : lorsque k < c²/v , dans S’ , M n’arrive jamais avant d’être parti.

4° a)     L’origine de la règle a pour équation horaire dans S : x = kt .
            Son équation horaire dans S’ est :    ( voir 1°) .
            L’équation horaire de l’extrémité de la règle dans S est x = kt + L .
            En remplaçant x par kt + L dans les transformations de Lorentz, puis en exprimant t en fonction de t’ ,
           on trouve :  .           On a donc : 

          On remarque que L' devient infini au voisinage de c²/v .

     c)  Le tableau précédent permet de voir que L' tend vers zéro lorsque k tend vers l'infini.

5°    Les valeurs de k pour lesquelles S' reste cohérent vont de moins l'infini à c²/v exclu.
       Les paradoxes apparaissent pour les valeurs de k supérieures à c²/v .

6°    Le mouvement de N dans S a pour équation horaire : x = t² .
       A la date t de S, N est en x = t² .
       Dans S' , N se trouve en      et l'horloge de S' qui se trouve en x' marque alors     .
       Calculons, lorsque cela est possible, t en fonction de t' , ce qui se fait en utilisant la dernière équation.
       On trouve :    .   Le discriminant, de cette équation en t , est     .
       Le discriminant est positif ou nul si et seulement si        ( 0 < v < c d'après l'énoncé ).
       Les seules valeurs affichées par les horloges de S' lorsque N les croisera, sont celles inférieures ou égales à c²/(4bv) .
       Toute valeur supérieure ne sera pas rencontrée par N .

       Résumons dans un tableau les variations de t' en fonction de t .
                                    

       Ce tableau permet de se rendre compte que toute valeur de t' inférieure à c²/(4bv) sera toujours rencontrée deux fois par N au cours de son voyage.
       Autrement dit: pour tout t' donné, t'< c²/(4bv) , N croisera toujours deux horloges distinctes de S' qui marqueront ce t' à l'instant du croisement. t' < c²/(4bv).
       Pour tout t'< c²/(4bv), les deux valeurs distinctes correspondantes de t sont:

                                ,    et on a :     .
      Le mouvement de N dans S' ne peut pas se décrire à l'aide d'une seule équation horaire.
     On a une première équation horaire ( x' exprimé en fonctions de t' ) lorsque t est inférieur ou égal à c²/(2v) , et une seconde équation pour t > c²/(2v) .
     Ces équations horaires sont respectivement : et 
      La première équation sera appelée équation normale, la seconde paradoxale.

     De façon plus détaillée,
     Pour t< c²/(2v) , la relation qui lie x' et t' , ou encore équation horaire normale du mouvement de N dans S' , est :

                                        ( Equation normale )
     Pour t> c²/(2v) , la relation qui lie x' et t' , ou encore équation horaire paradoxale du mouvement de N dans S' , est :

                                        ( Equation paradoxale )

     La vitesse normale de N dans S' est : ,  pour t<c²/(2v).
     La vitesse paradoxale de N dans S' est : , pour t>c²/(2v).

     La vitesse paradoxale est toujours négative.
     Durant la phase paradoxale de son mouvement dans S', N semble toujours arriver avant d'être parti, d'où la dénomination.

     Les variations des vitesses normales et paradoxales en fonction de t' sont résumées dans les tableaux suivants.

              Vitesse normale                                                                  Vitesse paradoxale
             
 
On remarque que t'=c²/(4vb) correspond à t=c²/(2v) , et la vitesse de N par rapport à S est alors c²/v , vitesse qui est celle à partir de laquelle apparaissent les paradoxes dans S' (voir les questions précédentes).

Serge CABALA