Réponses aux exercices sur les transformations de Lorentz


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Exercice 1


                                          Rappel : . b' correspond à v = 3 , et b" à v = 4 .
1°     La réponse est donnée par la figure ci-dessous.
         Pour S' , on a  v = 3 et c = 5 (donné dans l'énoncé ) .
         Ce qui donne b' = 4/5 ; x' = 5/4 x -15/4 t ; et  t' = 5/4 t - 3/20 x  = 4/5 t - 3/25 x' .
         Pour S'', on a  v = 4 et c = 5 (donné dans l'énoncé ) .
         Ce qui donne  b'' = 3/5 ; x'' = 5/3 x - 20/3 t ; et  t'' = 5/3 t - 4/15 x  = 3/5 t - 4/25 x'' .
         Les horloges des différents systèmes sont suivies de la lettre h , pour les distinguer des abscisses.
         (Fig.0) représentent S , S' et S'' vus à la date t = 0 de S .
         (Fig.1) représente S , S' et S'' vus à la date t = 1 de S  etc..

2° a) Pour trouver la vitesse de O' par rapport à S'' , à l'aide de la figure ci-dessous, on procède comme suit:
         Sur (Fig.0) , O' se trouve en face de O'' , et l'horloges de S'' qui se trouve en O'' marque alors 0h .
         Sur (Fig.3) , O' se trouve en face du point d'abscisse x'' = - 5 de S'' , et l'horloge de S'' qui se trouve en ce point marque alors 65/25 h .
         On a donc sur S'' pour le point O' :  O' passe en x'' = 0 à la date t'' = 0 de S''  , puis O' passe en x'' = -5 à la date t'' = 65/25 = 13/5 de S''.
         La vitesse de O' par rapport à S'' est :  (-5 - 0)/(65/25 - 0) = -25/13  (On admet que la vitesse de O' par rapport à S'' est constante).

    b) Pour trouver la vitesse de O'' par rapport à S' , on peut faire comme suit:
         Sur (Fig.0) , O'' se trouve en face de O' , et l'horloges de S' qui se trouve en O' marque alors 0h .
         Sur (Fig.2) , O'' se trouve en face du point d'abscisse x' = 5/2 , et l'horloge de S' qui se trouve en ce point marque alors
         t' = (34/25 + 31/25)/2 = 65/50 = 13/10 .

       Cette date n'est pas indiquée sur (Fig.2), mais elle s'obtient comme moyenne des dates indiquées par les horloges de S' qui se trouvent aux points d'abscisses 2 et 3 de S'.
        On a donc sur S' pour le point O'' : O'' passe en x' = 0 à la date t' = 0 de S' ,
        puis passe en x' = 2.5 à la date t' = 13/10 de S'.
        La vitesse de O'' par rapport à S' est donc de : (2.5 - 0)/(1.3 - 0) = 25/13
        Cette vitesse est l'opposée de celle trouvée en a).
        Ces vitesses peuvent être obtenues de manière plus traditionnelle.

3°     La réponse est donnée en rouge sur la figure ci-dessous.
         Sur (Fig.0) , O' se trouve en x'' = 0 par rapport à S'' , et l'horloge de S'' qui se trouve en ce point marque alors t'' = 0h.
         Sur (Fig.1) , A' se trouve en x'' = 15/4 par rapport à S'' , et l'horloge de S'' qui se trouve en ce point marque aussi t'' = 0h.
         Par rapport à S'' , O' et A' sont vus simultanément à la date t'' = 0 .
         La mesure algébrique du segment O'A' de S' , par rapport à S'' est donc: 15/4 - 0 = 15/4 .
         Un segment de longueur 4.0625 par rapport à S' , fixe dans S' , est vu sous la longueur 3.75 dans S'' .

  Remarques:
     a) Sur la figure , les valeurs rouges de x'' et t'' sont obtenues soit par interpolations linéaires,
          soit en calculant x à partir de x' à t = 0 puis à t = 1 , et ensuite x'' et t'' à partir de x et t .
 
      b) La vitesse de S'' par rapport à S' est 25/13 .
           Le b correspondant est  b = sqrt(1 - (25/13)2/25) = 12/13.
           On retrouve 4.0625 * 12/13 = 3.75 .

                                                                   Figures de l'exercice 1