Une série d'exercices inédits est proposée à la fin de cet exposé.

I) Introduction

Une notion souvent mal développée en physique, est la mesure par rapport à un système de référence.
La mesure des temps, la mesure des vitesses, la mesure des dimensions de mobiles, par rapport à un référentiel, demandent des définitions précises.
Le sens commun n'est pas suffisant, il conduit à des erreurs et à des paradoxes.

Certains aspects de ces mesures ne sont jamais abordés, jamais illustrés d'exemples simples.

Avez-vous entendu parler :

De la vitesse d'un avion par rapport à la terre rapportée à son système de fuseaux horaires ?

De la longueur d'une règle mobile par rapport à la terre, terre sur laquelle les temps sont partout mesurés avec des cadrans solaires ?

De deux événements simultanés par rapport à la terre et ses fuseaux horaires ?

Savez-vous ce que sont les coordonnées d'un événement terrestre par rapport à la terre et son système de fuseaux horaire ? (Ce dernier point est mieux connu.)
 

II) Début de l'étude

Voici des illustrations simples de ces différentes mesures.

Sur terre existent deux systèmes de mesure des temps.

1° Le temps universel donné par le méridien de Greenwich. Ce temps est utilisé pour dater les événements astronomiques, et sert de référence au calcul des temps donnés par les fuseaux horaires.

2° Les temps locaux donnés par les fuseaux horaires terrestres. Ils sont voisins des temps donnés par les cadrans solaires.

Quand on dit à quelqu'un : je vous rencontrerai demain à dix heures à New-York, il est toujours sous-entendu que ce nombre dix sera donné par une horloge new-yorkaise (et non pas par une horloge parisienne). Dans nos activités terrestres, on se réfère toujours aux temps locaux.

Dans tout ce texte, la mesure des longueurs sur terre est la mesure classique, l'unité prise étant le kilomètre.
Attention: cette mesure est celle d'objets immobiles, celle d'objets fixés au sol.

Je rappelle que la distance Paris New-York est d'environ 7000 km, et que les temps locaux sont décalés de 5 heures, par rapport au temps universel. C'est à dire que lorsqu'il est 10 heures à Paris, heure donnée par une horloge parisienne, il est seulement 5 heures à New-York, heure donnée par une horloge de New-York. Je suppose de plus que l'heure parisienne est celle du méridien de Greenwich, les horloges parisiennes indiquent l'heure universelle.

Ces données ne correspondent pas exactement aux données géographiques, mais ce sont celle que je prends pour illustrer mes propos.

Dans ce qui suit, la terre sur laquelle les heures sont données par le temps universel est notée T_u , la terre rapportée à ses fuseaux horaires est notée T_l . T_u et T_l sont deux référentiels différents par rapport auxquels on réfère les événements.

Imaginons un instant que nous n'ayons que la possibilité de mesurer les temps à l'aide de cadrans solaires, les événements seraient alors exclusivement datés par les temps locaux, T_l serait le seul système utilisé.

On suppose dans tout ce texte que l'heure locale donnée par un cadran solaire coïncide toujours avec l'heure de son fuseau horaire.

III) Notion de simultanéité, de vitesse, de longueur, par rapport à T_l , par rapport à T_u

1°) Coordonnées d'un événement.

Soit une explosion En qui se produit à New-York à 10 heures, heure locale. Les coordonnées de cet événement par rapport à T_l sont ( New-York, 10). Les coordonnées de ce même événement par rapport à T_u sont (New-York , 15). ( Dans les couples, le mot New-York peut être remplacé par les coordonnées terrestres de cette ville.)

Tout événement sur terre est ainsi repéré par son lieu et par une date. La date étant toujours donnée par l'horloge terrestre qui se trouve à l'endroit de l'événement, au moment ou il se produit. Si le système de référence est T_l , les horloges sont les cadrans solaires (l'heure donnée par le cadran solaire est supposée être la même que celle du fuseau horaire dans lequel il se trouve). Si le système de référence est T_u les dates en tout lieu sont celles reçues par signaux radio à partir d'un satellite par exemple qui diffuse l'heure de Greenwich.

Retenir que la date d'un événement est toujours donnée par un appareil (une horloge) qui doit se trouver au centre de l'événement au moment ou il se produit. (cadran solaire pour T_l , récepteur radio pour T_u )

2°) La simultanéité.

Soit une explosion Ep qui se produit à Paris à 10 heures, heure locale donnée par une horloge Parisienne. Les coordonnées de Ep par rapport à T_l sont (Paris, 10).
Soit une autre explosion En qui se produit à New-York à 10 heures, heure locale donnée par une horloge new-yorkaise. Les coordonnées de En par rapport à T_l sont (New-York,10).

Par définition,
Ces deux événements En et Ep sont simultanés par rapport à T_l (par rapport à la terre rapportée à ses fuseaux horaires).

Par rapport à T_u , ces deux événements sont décalés de 5 heures.
Les coordonnées de En par rapport à T_u sont (New-York,15) , celles de Ep par rapport à T_u sont (Paris,10).

On voit tout de suite que deux explosions une à Paris et l'autre à New-York simultanées par rapport à T_u ne le sont pas par rapport à T_l . Par rapport à T_l elles sont décalées de 5 heures.

3°) Mesure de vitesses.

Soit un avion qui part de Paris à 10 heures, heure locale donnée par une horloge parisienne ( ou cadran solaire parisien).
On suppose que cet avion arrive à New-York à 15 heures , heure locale donnée par une horloge new-yorkaise.

Par définition, la vitesse moyenne de cet avion, sur le trajet Paris New-York, par rapport à T_l est :

                                Vl = 7000/(15-10)=1400 km/h .

1400 est un nombre qui n'a de sens que relativement à T_{l .}

La vitesse moyenne de cet avion, sur le trajet Paris New-York par rapport à T_u est :

                               Vu = 7000/((15+5)-10)=700 km/h

Un même avion part maintenant de New-York à 8 heures, heure locale données par une horloge new-yorkaise, et arrive à Paris à 23 heures , heure locale donnée par une horloge parisienne.

Par définition, la vitesse moyenne de cet avion, sur le trajet New-York Paris, par rapport à T_l est :

                               V'l = 7000/(23 - 8) = 7000/15 = 466,66.. km/h

La vitesse moyenne de cet avion, sur le trajet New-York Paris, par rapport à T_u est :

                                V'u = 7000/(23 - (8+5)) = 7000/10 = 700 km/h = Vu

Supposons comme auparavant que nous n'ayons que le cadran solaire pour mesurer les temps. La seule façon de mesurer la vitesse serait celle que je viens de décrire.Et on se poserait bien des questions sur l'origine de la différence entre Vl et V'l .

Remarque 1 : Lorsque l'on augmente la vitesse Vu de l'avion par rapport à T_u dans le sens Paris New-York , la vitesse Vl de l'avion par rapport à T_l augmente, devient infinie, puis devient négative.
Penser à l'avion Concorde, l'heure locale d'atterrissage à New-York est toujours inférieure à l'heure locale de décollage à Paris. T_l est un système inapte à la description cohérente de certains phénomèmes, tel le mouvement du Concorde.

La vitesse limite par rapport à T_u dans le sens Paris New-York ,à partir de laquelle on obtient des paradoxes dans T_l est 1400 km/h (=7000/5). Un avion qui se déplace dans le sens Paris New-York à une vitesse de 1400 km/h par rapport à T_u à une vitesse infinie par rapport à T_l .

Remarque 2 : Dans le sens New-York Paris, quelque soit la vitesse de l'avion par rapport à T_u , l'heure locale d'atterrissage est toujours plus grande que l'heure locale de décollage.

V'l ne devient jamais infinie, et garde toujours le même signe que Vu . De plus on s'aperçoit que V'l (en valeur absolue) est toujours strictement inférieur à 7000/5 = 1400 km/h .

4°) Longueur d'un corps en mouvement.

Imaginons maintenant un avion rigide très long (ou une file d'avions) .

La queue de cet avion est vue au dessus de Paris exactement à 10 heures, heure locale donnée par une horloge parisienne.

Le nez de cet avion est vu au dessus de New-York à 10 heures, heure locale donnée par une horloge new-yorkaise.

Par rapport à T_l , on voit simultanément la queue de l'avion à Paris et le nez de ce même avion à New-York.

Par définition, la longueur de cet avion par rapport à T_l , est la distance Paris New-York. Soit  7000 km.

La longueur de cet avion par rapport à T_u ne peut être donnée tant que l'on ne précise pas la vitesse de cet avion par rapport à T_l , ou par rapport à T_u .

Supposons donc que la vitesse de cet avion, qui se dirige dans le sens Paris New-York, soit de 1400 km/h relativement à T_l , soit de 700 km/h relativement à T_u , et déterminons maintenant sa longueur relativement à T_u .

Quand la queue de l'avion se trouve au dessus de Paris à 10 heures, heure locale , son nez se trouve au dessus de la mer entre Paris et New-York , et l'avion doit voler encore pendant 5 heures pour que ce nez se retrouve au dessus de New-York ( Je raisonne par rapport à T_u ce qui est plus facile) . La longueur de cet avion par rapport à T_u est donc de : 7000-5 * 700 = 3500 km .

Une règle de 3500 km par rapport à T_u , qui se déplace dans le sens Paris New-York à la vitesse de 700 km/h par rapport à T_u , à une mesure de 7000 km par rapport à T_l .

Soit maintenant un autre avion rigide très très long , qui se déplace dans le sens New-York Paris . La vitesse de cet avion par rapport à T_l est supposée de 7000/15 = 466.66 km/h .

Son nez est vu au dessus de Paris à 10 heures, heure locale, sa queue est vue au dessus de New-York à 10 heures, heure locale . Comme dans le cas précédent, la longueur de cet avion par rapport à T_l est de 7000 km, car la queue et le nez de l'avion sont vus simultanément à 10 heures dans le repère T_l , et que la distance ( en km) dans T_l entre ces deux événements est de 7000 km.

Question : quelle est la longueur de cet avion par rapport à T_u ? . Réponse : 10500 km .
Je laisse au lecteur le soin d'expliquer.

Une règle de 10500 km par rapport à T_u , qui se déplace dans le sens New-York Paris à la vitesse de 700 km/h par rapport à T_u , a une mesure de 7000 km par rapport à T_l .
 

IV) Mesures par rapport à l'avion rapporté à des temps locaux.

Dans l'avion très long de 3500 km relativement à T_u , qui se déplace dans le sens Paris New-York à la vitesse de 700 km/h par rapport à T_u , on mesure les temps à l'aide de cadrans solaires.

La distance dans l'avion d'un objet fixé à l'avion est mesurée de manière habituelle, l'unité étant le km.
Ce système est not A_l (avion avec temps locaux) .

1° Mesure d'une longueur relativement à A_l .

Déterminons la distance Paris New-York relativement à A_l .

Plus haut nous avons vu que si la queue de cet avion est vue au dessus de Paris à 10 heures , heure locale parisienne , alors le nez de l'avion est vu au dessus de New-York à 10 heures, heure locale de New-York .

Les temps étant mesurés à l'aide de cadrans solaires dans l'avions, lorsque la queue de l'avions se trouve au-dessus de Paris, le cadran solaire de la queue de l'avion indique 10 heures, tout comme celui situé au sol à Paris.

Les coordonnées de l'événement "voir Paris depuis la queue de l'avion" sont par rapport à A_l : (queue de l'avion , 10 heures).

Le nez de l'avion se retrouve au dessus de New-York à 10 heures , heure locale de New-York, le cadran solaire du nez de l'avion indique également 10 heures comme celui situé au sol à New-York.

Les coordonnées de l'événement "voir New-York depuis le nez de l'avion" sont par rapport à A_l : (nez de l'avion , 10 heures).

Les deux événements précédents sont simultanés par rapport à A_l . Comme par rapport à A_l la distance queue nez est de 3500 km , la distance Paris New-York par rapport à A_l est de 3500km.

Une règle de 7000 km posée au sol est perçue sous la distance 3500 km dans A_l .

2°) Mesure de la vitesse de défilement de Paris relativement à A_l

On suppose le nez de l'avion au dessus de Paris à 5 heures, heure locale de Paris.

Le cadran solaire situé dans le nez de l'avion indique aussi 5 heures.

Les coordonnées de l'événement "on voit Paris depuis le nez de l'avion" sont par rapport à A_l : (nez de l'avion , 5 heures).
La queue de l'avion se retrouve au dessus de Paris à 10 heures heure locale, comme dans 1° , les coordonées de l'événément "voir Paris depuis la queue de l'avion" sont par rapport à A_l : (queue de l'avion , 10 heures) .

La vitesse de Paris relativement à A_l est : (distance queue-nez mesurée dans A_l)/(10 - 5) = 3500/5 = 700 km/h , pour une vitesse en valeur absolue. La vitesse en mesure algébrique , si l'avion est orienté de la queue vers le nez , est de -700 km/h .

Nous avons donc les résultats suivants:

Par rapport à T_l l'avion défile à 1400 km/h

Par rapport à A_l la terre défile à 700 km/h (-700 en mesure algébrique)

Par rapport à T_u l'avion défile à 700 km/h.

Remarque: Si l'on note A_u l'avion dans lequel les temps sont mesurés par les horloges universelles (heure distibuée par signaux radio à partir du méridien de Greenwich) , on s'aperçoit que la vitesse de défilement de la terre par rapport à A_u est encore de 700 km/h (-700 km/h en mesure algébrique) .

Si vous avez bien compris, vous êtes maintenant armés pour résoudre les problèmes suivants, et aborder la relativité de façon plus claire.








                            Petits exercices sur les fuseaux horaires
 

Les exercices proposés sont simples et progressifs .

Le but et de se familiariser avec les mesures par rapport à un système de référence, et de bien percevoir le privilège du cadre de la mécanique classique, car c'est un cadre dans lequel il est plus facile de raisonner .

Le cadre de la mécanique classique étant celui formé d'un espace euclidien et d'un temps universel.
 

Mise en place des systèmes étudiés.

L'équateur est supposé être un axe droit infini, l'origine étant le méridien de Greenwich.
Cet axe est orienté d'est en ouest.
La marche du soleil au-dessus de l'équateur est supposée parfaitement régulière, toujours à la verticale de l'équateur. L'équateur est représenté par un axe ox, et le soleil est un point lumineux en translation uniforme au-dessus de cet axe, dans le sens des x croissants.
L'unité de longueur sur l'équateur est le km. L'unité de temps est l'heure.

Sur l'équateur, les temps sont mesurés soit par des cadrans solaires, ce qui fournit des temps locaux, soit par le temps universel donné par le cadran solaire du méridien de Greenwich, temps universel diffusé par radio par exemple.

A l'origine de l'équateur, le temps local et le temps universel coïncident.
L'axe équatorial rapporté au temps universel est noté Su (système à temps universel).
L'axe équatorial sur lequel on ne mesure les temps qu'avec des cadrans solaires est noté Sl
( système à temps locaux).

Remarque, Su est un système à temps locaux particulier, l'heure est recue en chaque point de l'axe par un récepteur radio situé sur ce point (avec une correction éventuelle), tandis que pour Sl , l'heure en chaque point de l'axe est donnée par un cadran solaire qui se trouve sur ce point.
Su et Sl ne différent que par le type des horloges utilisées.

On admet qu'il y a pour le temps local un décalage de 12 heures tous les 20000 km par rapport au temps universel.

Les coordonnées d'un événement sur l'équateur (explosion par exemple) relativement à Su sont notées (x,t).

Les coordonnées de ce même événement par rapport à Sl sont notées (x', t')
 

Exercices

1° Déterminer les formules permettant de calculer (x' , t') connaissant (x ,t) .
Puis calculer (x , t) en fonction de (x' , t').

2° Soit un point M qui se déplace sur l'équateur (axe Ox) selon l'équation horaire x=vt par rapport à Su .
a) Déterminer l'équation horaire de ce mobile M par rapport à Sl . Quelle est la vitesse v'de M par rapport à Sl ?
b) Déterminer la limite de v' lorsque v tend vers moins l'infini.
c) Quelle est la vitesse limite w de v à partir de laquelle la description du mouvement de M dans Sl devient incohérente ?
d) Déterminer la limite de v' lorsque v tend vers plus l'infini. Que constatez-vous ?

3° Soit une régle R de longueur L par rapport à Su et qui glisse sur l'équateur à vitesse v toujours par rapport à Su .(L'origine de la règle a pour équation horaire x=vt par rapport à Su , son extrémité a pour équation horaire x=vt+L par rapport à Su ).
a) Quelle est la longueur L' de la règle par rapport à Sl ?
b) Quelle est la limite de L' lorsque v tend vers moins l'infini ?
c) Comment se comporte L' lorsque v tend vers w (par valeurs inférieures) l'atteind puis dépasse w ? Quels sont les paradoxes ?

4° On reprend la règle R précédente qui se déplace à vitesse v par rapport à Su . L'origine de cette règle est notée Or , et elle est orientée d'est en ouest .
L'équation du mouvement de Or relativement à Su est x=vt.
R est maintenant infinie.
L'unité de longueur de cette règle , par rapport à Su , mesure un km ( c'est l'unité intuitive habituelle).
Les temps sur R sont mesurés à l'aide de cadrans solaires.
Comme sur terre , nous avons des temps locaux.
On note Rl le système de référence ainsi obtenu.

Soit E un événement quelconque de coordonnées (x,t) par rapport à Su , de coordonnées (x',t') par rapport à Sl et de coordonnées (x" ,t") par rapport à Rl .

a) Exprimer (x",t") en fonction de (x,t) puis de (x',t') .
b) Soit M un point mobile qui se déplace relativement à Su selon l'équation horaire x=kt.
Déterminer l'équation horaire de ce mobile par rapoort à Rl . Discuter en fonction de la valeur de k.
Donner l'équation du mouvement de M dans Rl en fonction de son équation dans Sl.
(On notera k' la vitesse de M relativement à Sl )
c) Soit une deuxième régle notée R2 , qui se déplace à vitesse k relativement à Su , et de longueur L relativement à Su
Quelle est sa longueur L" par rapport à Rl ? Exprimer L" en fonction de L'et de k' , L' longueur de R2 par rapport à Sl , k' vitesse de R2 par rapport à Sl .

5° On reprend la règle décrite au 4° avec ses temps locaux. On change maintenant l'unité de longueur sur Rl .L'unité de longueur mesure cette fois par rapport à Su , u kilomètres.
u est un réel positif ou négatif.( on peut supposer u positif)

a) Refaire les questions a) b) c) précédentes avec u.
b) Quelle valeur faut-il donner à u pour que les formules de passage de (x",t") à (x',t')
s'obtiennent à partir des formules de passage de (x',t') à (x",t") en remplaçant simplement dans ces dernières v par -v ?
 

L'exercice 6 est légérement modifié par rapport à la première version que vous avez peut-être téléchargé.
Cette modification donne un énoncé plus facile à comprendre.

Le changement d'unité locale de temps dans Rl n'est plus défini par rapport à Su comme dans l'ancien énoncé dans lequel on lisait :
"La nouvelle unité, de temps local sur Rl, vaut par rapport à Su, s heures.
C'est à dire que lorsqu'il s'écoule une heure dans Su, toutes les horloges de Rl avancent de 1/s ."
(Ce qui est en rouge correspond à la correction d'une coquille.)
Le s de l'ancien énoncé correspond au g du nouvel, s prenant une nouvelle signification.

6° On reprend la règle décite au 4° avec ses temps locaux. On change sur Rl , l'unité de longueur comme en 5°, mais en plus on change l'unité de temps.
L'unité de longueur sur Rl , mesure par rapport à Su , u kilomètres comme en 5°.
La nouvelle unité locale de temps sur Rl vaut s fois l'ancienne.Toutes les horloges (cadrans solaires) de Rl sont regraduées, et il y a s anciennes graduations dans une nouvelle.
Soit g la valeur en heures par rapport à Su de la nouvelle unité locale de temps de Rl.
a) Quelle relation existe-t-il entre g et s ?
     Refaire les questions a) b) c) précédentes en faisant intervenir les constantes u et s.
b) Quelles valeurs donner à u et s pour que les formules de passage de (x,t) à (x",t") soient du type de celles utilisées dans les transformations de Lorentz.
Ces valeurs sont-elles uniques ?
Que vaut alors la constante c ? (constante qui apparaît dans les formules de Lorentz).
 
 

Les réponses sont données sur ce site: ./repexercices/choix.htm