Les exercices qui utilisent des vitesses quelconques (plus grandes que c) se résolvent simplement.

Soit S un axe Ox, S est un axe classique . En chaque point de cet axe se trouve un nombre, son abscisse, et se trouve un horloge qui indique la date de tout événement qui se passe en ce point. Les horloges de S sont des horloges classiques, toutes synchrones.

Soit S' un autre axe O'x' qui glisse sur Ox à vitesse constante v par rapport à S .

L'équation du mouvement de O' par rapport à S est x = vt.

En chaque point de S' se trouve un nombre x' , son abscisse, et se trouve une horloge qui indique les dates, par rapport à S' , des événements qui se déroulent en x'.

Chaque de point S' a son horloge.

De plus on suppose que l'on passe de S à S' à l'aide des transformations de Lorentz de constante c , c >abs(v) , abs désignant la valeur absolue.

Prenons par exemple une explosion qui a pour coordonnées (x,t) par rapport à S , les coordonnées (x',t') de cette même explosion par rapport à S' sont données par les transformations de Lorentz.

Soit : x' = (x-vt)/b ; t' = (t- vx/c²)/b , avec b=sqrt(1-v²/c²) (sqrt désignant la racine carrée)

Soit S" un troisième axe O"x" qui glisse sur Ox à vitesse constante w par rapport à S , avec abs(w) < c , c étant la constante positive précédente.

L'équation du mouvement de O" par rapport à S est x = wt.

On suppose que l'on passe encore de S à S" par les transformations de Lorentz en remplaçant v par w dans les formules précédentes.
 

Exercice 1.

On prend c = 5 , v = 3 , et w = 4 .

1° Représenter les axes S , S' , S" aux dates t= 0 puis t=1 puis t=2 puis t= 3 de S. On prendra pour unité 25 mm sur Ox . On placera les abscisses entières sur les trois axes, et on placera les horloges correspondantes.

2° En s'aidant des dessins uniquement, trouver la vitesse de O' par rapport à S" puis trouver la vitesse de O" par rapport à S' .

3° Soit A' le point de S' d'abscisse x' = 4 + 1/16 .
Représenter A' sur les dessins qui correspondent à t=0 puis à t=1 .
Placer les abscisses et les horloges en face de A' sur S" .
En déduire par lecture graphique la mesure de O'A' par rapport à S" .
(Faire attention à utiliser correctement la définition de simultanéité par rapport à S").
 

Exercice 2

Dans cet exercice , 0<v<c

Soit M un point mobile sur S d'équation horaire x = kt, k étant une constante réelle absolument quelconque. (La vitesse de M relativement à S est k .)

1° Déterminer l'équation du mouvement de M par rapport à S' , puis donner la vitesse k' de M par rapport à S' .
    Pour quelle valeur de k , k' n'existe pas ? Comment est alors perçu M dans S' ?

2° On suppose k>c . Discuter suivant k , de la valeur de k' et du signe de k'.
     Montrer en particulier qu'a partir d'une certaine valeur de k , k et k' sont de signes contraires.
     Quelle est la limite de k' lorsque k tend vers plus l'infini ?
     S' est-il un système de référence toujours cohérent ?

3° Vérifier que toute valeur négative de k donne une valeur de k' négative. Quelle est la limite de k' lorsque k tend vers moins l'infini ? Comparer avec le résultat de la question 2° .

4° Soit une règle de longueur L par rapport à S , et qui glisse sur S à la vitesse k par rapport à S . On suppose que les équations horaires respectives de l'origine et de l'extrémité de la règle sont : x = kt et x = kt + L . k est une constante réelle quelconque.
        a)  Déterminer la longueur L' de cette règle relativement à S' .
        b)  Discuter en fonction de k , le signe et la valeur de L' comparée à L .
             On précisera en particulier la valeur de k pour laquelle L' est infinie.
        c)  Quelle est la limite de L' lorsque k tend vers moins l'infini ? lorsque k tend vers plus l'infini ?

5° Donner l'intervalle des valeurs de k pour lesquelles S' reste un système cohérent.

6° Cette dernière question est plus difficile car non détaillée.
     Un mobile N se déplace sur S selon l'équation horaire x = t.t (t.t signifie t au carré.Le mouvement de N est rapporté à S ).
     Donner son équation horaire dans S' . Discuter cette équation horaire. Expliquer les pseudo-paradoxes obtenus.
     Préciser la vitesse de N par rapport à S', discuter .
 

Exercice 3

Le but de cet exercice est de voir que la constante c dans les transformations de Lorentz n'est pas un absolu.
Peuvent coexister différents systèmes obéissant aux formules de Lorentz, c prenant des valeurs différentes selon le système.
Peuvent en même temps coexister différents systèmes galiléens.

Dans cet exercice on passe de S à S' par les transformations de Lorentz de constante c , et on passe de S à S" par les transformations de Lorentz de constante c" .
c et c" sont deux réels strictement positifs .
On passe de S à Sg' et de S à Sg" par des transformations de Galilée.

La vitesse de S' par rapport à S est v , la vitesse de S" par rapport à S est w .
La vitesse de Sg' par rapport à S est v , la vitesse de Sg" par rapport à S est w .
A t = 0 , les axes S , Sg' et Sg" coïncident.

1° Soit une explosion de coordonnées (x,t) par rapport à S , de coordonnées (x',t') par rapport à S' ,  de coordonnées (x",t") par rapport à S" , de coordonnées (xg',yg') par rapport à Sg' , et de coordonnées (xg",yg") par rapport à Sg" .

       a) Ecrire (x',t') en fonction de (x,t) , puis (x",t") en fonction de (x,t).
       b) Ecrire (x",t") en fonction de (x',t') , puis écrire (x',t') en fonction de (x",t")
       c) Ecrire (x',t') en fonction de (xg',yg') puis en fonction de (xg",yg") .

2°  a) Déterminer la vitesse de S' par rapport à S" , et déterminer la vitesse de S" par rapport à S' .
         Ces vitesses sont-elles opposées ?
         On pourra discuter en fonction de v,w,c,c" .
      b) Déterminer la vitesse de S" par rapport à Sg' , et déterminer la vitesse de S' par rapport à Sg".
          Ces vitesses sont-elles opposées ?

3° Soit un mobile d'équation horaire x = kt par rapport à S .
     Soient k' et k" les vitesses respectives de ce mobile relativement à S' et à S" .
    Exprimer k" en fonction de k' , puis k' en fonction de k".

4° Soit R un règle de longueur (algébrique) L par rapport à S et qui se déplace à vitesse k par rapport à S.
     Soit L' la longueur de R par rapport à S' , et soit L" la longueur de R par rapport à S" .
     Exprimer L" en fonction de L' , puis L' en fonction de L" .
     Quelle(s) valeur(s) faut-il donner à k pour que L'=L" ?  Discuter.

5° Soient deux explosions E1 et E2 simultanées par rapport à S' et distantes de 5 unités par rapport à S' .
    Est-il possible que ces deux explosions soient simultanées par rapport à S" ?
    Si oui , donner les solutions non évidentes. (w=v et c=c" est une solution évidente).
 

Exercice 4

Pour résoudre cet exercice, on pourra s'aider des résultats donnés dans "Etude élémentaire des transformations de Lorentz".
Nous somme dans le cadre de la mécanique classique.

Soit une bande élastique infinie notée Ox. On suppose l'élastique parfait.

Toute onde transversale sur cette bande à une équation de la forme y=f(t-x/c) + g(t+x/c) , f et g étant deux fonctions quelconques d'une variable.

c est une constante strictement positive déterminée par les caractéristiques élastiques de la bande.
c est la vitesse des ondes transversales sur cette bande.

Soit v un réel qui vérifie abs(v)<c (abs valeur absolue) , et soient x' et t' les transformées de x et t par les transformations de Lorentz, formules dans lesquelles v et c sont les constantes de cet exercices.

1° Démontrer que y=f(t' - x'/c) + g(t' + x'/c) est une onde transversale possible de la bande élastique.

2° Soit f une fonction périodique de période p>0 .

Déterminer tous les points fixes de l'onde (O ) définie par : y = f(t-x/c) - f(t+x/c) (de façon évidente x=0 est un point fixe).
Quelle est la distance d entre deux points fixes consécutifs ?

3° Soit l'onde (Ov) y= f(t'-x'/c)-f(t'+x'/c) .
     Déterminer la plus petite constante réelle positive L telle que pour tout t, le point d'abscisse x = vt + kL ( k entier relatif quelconque) ait pour ordonnée zéro.

4° L'onde (O) a une période de battement égale à p ( la corde retrouve la même forme toutes les p unités de temps).

Soit Sv un système de référence classique en translation uniforme à vitesse v par rapport à Ox.

           a) Quelle est par rapport à Sv la période de battement de (Ov) ?
           b) Quelle est par rapport à Sv la distance de deux points fixes consécutifs de (Ov) ? (Points fixes par rapport à Sv) .

5° Trouver toutes les transformations linéaires de x et t qui transforment toute onde transversale de la bande élastique en une autre onde sur cette même bande.
     Pour chaque transformation trouvée , étudier le comportement des points "fixes" .
     Etudier le comportement des battements.

Remarque : pour les ondes dans un milieu élastique de dimension trois, seules les transformations de Lorentz sont possibles.
                  Sur un corde vibrante, il en existe plusieurs.
 

Exercice 5

Soient les systèmes S , S₁ , S₂ , S₃  . S  et S₁ sont des axes classiques avec des temps universels.
De plus S₁ glisse sur S selon un mouvement uniformément accéléré.
L'équation horaire de l'origine O₁  de S₁ est x = t.t  par rapport à S (t.t signifie t au carré) .
S₂ et S₃  ne sont pas des systèmes classiques.
On passe de S à S₂  par les transformations de Lorentz de constantes v , c , avec abs(v) < c .
On passe de S₁ à S₃  par les transformations de Lorentz de constantes v' , c' , avec abs(v') < c'  .
c et c' sont différents.

Tout ceci est parfaitement cohérent.
Ces quatre systèmes coexistent ensemble, ils sont matèriellemnt constructibles.
S₂  est par exemple une corde vibrante dans S , corde sur laquelle se propage une onde de référence stationnaire à vitesse v (voir l'animation sur les ondes) , la vitesse des ondes libres sur cette corde étant c.
S₃  est une autre corde vibrante . Sur cette dernière corde se propage une autre onde de référence stationnaire à vitesse v', la vitesse de ondes libres sur cette corde étant c'. Et de plus S₃ est en chute libre (par rapport à S ) dans un champs de pesanteur uniforme.

Soit E un événement (explosion par exemple) . Soient (x,t) ; (x1,t1) ; (x2,t2) ; (x3,t3) les coordonnées respectives de E par rapport à  S , S₁ , S₂ , S₃ .

1° Exprimer (xi,ti) en fonction de (x,t) . Exprimer (x3,t3) en fonction de  (x2,t2).

2° Soit un point M qui se déplace dans S selon l'équation horaire x = k t . Déterminer sa vitesse dans S₃ .Discuter le résultat en fonction de t.

3° Soit un règle R de longueur (algébrique) L qui glisse sur S .
     Son origine a pour équation horaire x = k t par rapport à S ;
     son extrémité a pour équation horaire x = k t + L par rapport à S .

        a) Déterminer la vitesse de l'extrémité de la règle par rapport à S₃ .
        b) Déterminer en fonction de ... (à vous de préciser) , sa longueur L3  par rapport à S₃ .
 

Les réponses sont données sur cette page: ./repexercices/choix.htm